전기공부 하면서 오일러공식 들어보셨습니까?

오일러 공식은 수학자 레온하르트 오일러의 이름이 붙은 공식으로, 복소수 지수를 정의하는 데에 출발점이 되며, 삼각함수와 지수함수에 대한 관계를 나타낸다.

오일러 그래프 출처:위키백과

오일러 공식

이 공식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

eiθ = cos θ + i sin θ

여기서 e는 네이피어수 또는 자연로그 밑이고, i는 허수 단위이다. θ는 각도를 라디안으로 표현한 것이다. 이 공식에서 변수에 π를 대입하면 다음과 같은 식이 된다.

eiπ + 1 = 0

이 식을 오일러 항등식이라고 부르며, 세상에서 가장 아름다운 공식으로도 불린다234. 왜냐하면 이 식은 0과 1 같은 기본적인 상수와 e, i, π 같은 중요한 수학 상수가 모두 등장하기 때문이다.

오일러 공식은 복소수 지수와 삼각함수의 관계를 나타내는 공식이므로, 복소수와 삼각함수가 사용되는 여러 분야에 적용할 수 있습니다. 예를 들어,

교류 전압과 전류의 위상 차이를 표현할 때, 오일러 공식을 이용하여 복소수 형태로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, 교류 전압 v(t) = Vm cos(ωt + θ) v ( t) = V m cos ( ω t + θ) 는 복소수 지수함수로 v(t) = Re(Vmej(ωt+θ)) v ( t) = Re ( V m e j ( ω t + θ)) 로 쓸 수 있습니다. 여기서 Re Re 는 실수부를 의미하고, j j 는 허수 단위입니다.
임피던스나 반응성을 계산할 때, 오일러 공식을 이용하여 저항과 인덕턴스의 합을 복소수 형태로 나타낼 수 있습니다. 예를 들어, RL 회로에서 임피던스 Z Z 는 Z=R+jωL Z = R + j ω L 로 쓸 수 있습니다. 여기서 ω ω 는 각주파수이고, L L 은 인덕턴스입니다.

예를 들어, cos(x)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

cos(x) = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2

마찬가지로, sin(x)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / 2i

이렇게 하면 삼각함수를 지수함수로 바꿀 수 있습니다.

오일러 공식은 삼각함수와 지수함수의 관계를 보여주는 매우 강력한 공식입니다. 삼각함수의 덧셈정리나 미분방정식 등에도 유용하게 사용됩니다.

오일러 공식을 유도하는 방법은 여러 가지가 있습니다. 그 중 하나는 다음과 같습니다.

먼저, e^(ix)의 테일러 급수를 구합니다.

e^(ix) = 1 + ix + (ix)^2 / 2! + (ix)^3 / 3! + (ix)^4 / 4! + ...

이때, i^2 = -1, i^3 = -i, i^4 = 1 등의 성질을 이용하면 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

e^(ix) = (1 - x^2 / 2! + x^4 / 4! - ...) + i(x - x^3 / 3! + x^5 / 5! - ...)

여기서 괄호 안의 항들은 각각 코사인과 사인의 테일러 급수와 일치합니다.

cos(x) = 1 - x^2 / 2! + x^4 / 4! - ...

sin(x) = x - x^3 / 3! + x^5 / 5! - ...

따라서,

e^(ix) = cos(x) + i sin(x)

이 되어 오일러 공식을 얻을 수 있습니다.

마치며

여기까지 오일러 공식에 관련된 문제들을 정리해 보았습니다. 감사합니다.